Transformasi

 Penerapan transformasi geometri dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya dapat digunakan dalam membuat karya seni batik atau motif-motif lantai keramik. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada transformasi geometri juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal transformasi geometri dan menemukan solusinya.

Transformasi geometri adalah suatu proses pemetaan satu-satu (one-one) dari sembarang atau beberapa titik di suatu bidang ke titik lain atau beberapa titik di bidang tersebut. Titik lain di bidang tersebut disebut bayangan atau peta.

Jenis Transformasi

---

1. Translasi (Pergeseran)
2. Refleksi (Pencerminan)
3. Rotasi (Perputaran)
4. Dilatasi Perkalian

1. Translasi (Pergeseran)

---

Translasi (Pergeseran) merupakan transformasi isometri dari setiap titik dengan jarak dan arah yang tetap.

Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi sejauh $T=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A^{\prime }\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)$.

$\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)=T+(x,y)=\left(x+a,y+b\right)$

$\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)+(x,y)=\left(x+a,y+b\right)$

2. Refleksi (Pencerminan)

---

Refleksi (Pencerminan) merupakan suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat-sifat bayangan pada suatu cermin.

Beberapa pencerminan yang mungkin dapat dilakukan terhadap sebuah objek, diantaranya adalah:

• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$X$ ($y=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A^{\prime }\left(x,-y\right)$.
  Dengan menggunakan matriks:
  $A^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A^{\prime }\left(x,2k-y\right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 2k\end{array}\right)$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$Y$ ($x=0$) maka bayangan yang dihasilkan adalah $A^{\prime }\left(-x,y\right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $x=k$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A^{\prime }\left(2k-x,y\right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2k\\ 0\end{array}\right)$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A^{\prime }\left(-x,-y\right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap titik $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A^{\prime }\left(2a-x,2b-y\right)$.
  Dengan menggunakan matriks,
  $A^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2a\\ 2b\end{array}\right)$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A^{\prime }\left(y,x\right)$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
• Jika titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A^{\prime }\left(-y,-x\right)$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

3. Rotasi (Perputaran)

---

Rotasi (Perputaran) sebuah titik atau beberapa titik ditentukan oleh pusat rotasi $P(a,b)$ dan besar sudut rotasi ($\theta$).

• Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ dimana
  $x^{\prime }=\left(xcos\theta -ysin\theta \right)$
  $y^{\prime }=\left(xsin\theta +ycos\theta \right)$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
• Jika titik $A(x,y)$ dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ dimana
  $x^{\prime }=\left(xcos\theta -ysin\theta \right)+\left(asin\theta -bcos\theta \right)+a$
  $y^{\prime }=\left(xsin\theta +ycos\theta \right)-\left(bcos\theta +asin\theta \right)+b$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-a\\ y-b\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$

Perlu diingat besar sudut $\theta$ jika diputar berlawanan arah jarum jam bernilai $(+)$ sedangkan besar sudut $\theta$ jika diputar searah arah jarum jam bernilai $(-)$.

4. Dilatasi (Perkalian)

---

Dilatasi (Perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran (diperbesar atau diperkecil) suatu bangun yang sebangun.

• Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(0,0)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A^{\prime }(kx,ky)$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
• Jika titik $A(x,y)$ dilatasi dengan faktor skala $k$ dan pusat $(a,b)$ maka bayangan yang dihasilkan adalah $A^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ dimana
  $x^{\prime }=k\left(x-a\right)+a$
  $y^{\prime }=k\left(y-b\right)+b$
  Dengan menggunakan matriks,
  $A^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-a\\ y-b\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$

Catatan tambahan untuk dilatasi

• Jika bangun datar $A$ didilatasi dengan skala $k$ dan pusat $O(0,0)$ menjadi bangun datar $A^{\prime }$, maka berlaku:
  Luas bangun datar $A^{\prime }=k^2\times \text{luas bangun datar}A$.
• Luas segitiga $ABC$ dimana $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$ adalah $\left[ABC\right]=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1& x_1& y_1\\ 1& x_2& y_2\\ 1& x_3& y_3\end{array}\right|$
• Luas benda hasil transformasi adalah $\left|detT\right|\times \text{Luas Benda Asal}$

Komposisi Transformasi

---

Jika $T_1$ adalah suatu transformasi yang memetakan obyek $A(x,y)$ ke obyek lain $A^{\prime }$, kemudian dilanjutkan oleh transformasi $T_2$ obyek $A^{\prime }$ dipetakan ke obyek $A^{\prime \prime }(x^{\prime \prime },y^{\prime \prime })$ secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

• Bayangan hasil komposisi transformasi Translasi
  $A^{\prime \prime }=T_2+T_1+A$
  $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }\\ y^{\prime \prime }\end{array}\right)=T_2+T_1+\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
  
• Bayangan hasil komposisi transformasi Refleksi, Rotasi dan Dilatasi
  $A^{\prime \prime }=T_2\cdot T_1\cdot A$
  $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }\\ y^{\prime \prime }\end{array}\right)=T_2\cdot T_1\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
  

Untuk memantapkan kita menggunakan atau memahami aturan-aturan pada Transformasi Geometri di atas, mari kita coba diskusikan beberapa masalah berikut yang kita pilih dari soal-soal yang sudah diujikan